Les identités remarquables :
49 = 7² = (3+4)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
En regardant cet enchaînement
d'égalités, on voit bien qu'il y a une erreur.
On a bien 49 = 7² = (3 + 4)² et 3² + 4² = 9 + 16 = 25;
Donc l'erreur se situe dans le développement de (3 + 4 )² en 3²+ 4².
Développons (3 +4)²:
(3+4)²= (3+4)(3+4) =
3x(3+4) + 4x(3+4) =
3x3 + 3x4 + 4x3 + 4x4 =
3²+ 2x3x4 + 4² =
9 + 24 + 16 = 49
En développant, on se rend compte qu'il y a un autre produit. On l'appelle le double produit de 3 et 4.
Généralisons:
| 1ère identité remarquable : (a+b)² = a² + 2 ab + b² |
2ème identité remarquable : (a-b)² = a² - 2ab + b² |
3ème identité remarquable : (a+b)(a-b) = a²- b² |
| (a+b)² = (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a² + ab + ab + b²= a² + 2ab + b² |
(a-b)²= (a-b)(a-b) = a(a-b) - b(a-b) = a² - ab - (ab - b²) = a² -ab - ab + b² = a² - 2ab + b² |
(a+b)(a-b)= a(a-b) + b(a-b) = a² - ab + ab - b² = a² - b² |
Application au calcul mental :
| 103² = (100+3)² = 100² + 2 x 100 x 3 + 3² = 10000 + 600 + 9 = 10609 |
1ère identité remarquable |
| 97² = (100 - 3) = 100² - 2x100x3 + 3² = 10000 - 600 + 9 = 5409 |
2ème identité remarquable |
| 97x103 = (100 - 3)(100 + 3) = 100² - 3²= 10000 - 9 = 9991 |
3ème identité remarquable |
Application au calcul littéral :
| (a+2)² = a² + 2xax2 + 2² = a² + 4a + 4 |
1ère identité remarquable |
| (a-5)²= a² - 2xax5 + 5² = a² - 10a +25 |
2ème identité remarquable |
| (a - 6)(a + 6) = a² - 6² = a² - 36 |
3ème identité remarquable |